Kóczán Mór a Komárom-Esztergom megyében fekvő Kocs községben született 1885. január 8-án. A rendszeres testmozgást a Pápai Református Főgimnázium tornaórái szerettették meg vele. Már gimnáziumi évei alatt rendszeresen és egyre komolyabban sportolt, s ezt a pápai teológia hallgatójaként is próbálta folytatni.
A lelkészi oklevél megszerzése után, 1908–1914 között a Révkomáromhoz közeli Csallóközaranyoson szolgált. Ebben az időszakban két olimpián is részt vett: az 1908-as londonin a Budapesti Torna Club, az 1912-es stockholmin a Ferencvárosi Torna Club versenyzőjeként. Az atlétika különböző számaiban megmérette magát a súlylökéstől a diszkoszvetésen át a gerelyhajításig. A 20. század hajnalán még nem volt jellemző a mai nagyfokú specializáció, ezért szinte természetesnek vehető, hogy Kóczán Mór valamennyi dobószámban rajthoz állt.
Kiemelkedő eredményt a gerelyhajításban sikerült elérnie, amikor a Stockholmban rendezett olimpián 55,5 méteres dobással a harmadik helyen végzett a svéd Erik Lemming és a finn Juho Saaristo mögött. Bronzérme a magyar gerelyhajítás első olimpiai érme lett. Ő volt az első nem skandináv versenyző, aki olimpiai érmet tudott nyerni gerelyhajításban. Kiváló sportolóként már az 1912-es olimpia előtt is világraszóló eredményeket ért el. 1909 és 1911 között három alkalommal javította meg a gerelyhajítás világcsúcsát, de a Nemzetközi Atlétikai Szövetség csak az 1912-től elért dobásokat hagyta jóvá, ezért az övéi ma nem hivatalos világcsúcsnak számítanak.
Lelkészi szolgálatát 1914-től 1948-ig a Dunához közel fekvő felvidéki Csilizradvány reformátusai között végezte, emellett sportkört és énekkart szervezett. Az 1920-as trianoni békeszerződés értelmében ez a terület a Csehszlovák Köztársaság részét képezte. Sportolóként az új állam színeiben is ért el figyelemreméltó eredményeket. 1920-ban Csehszlovákia bajnoka lett. 1924-ben, közel negyvenévesen, csehszlovák színekben vett részt a párizsi olimpián. Az aktív sportolást 1926-ban fejezte be, de sportszeretete egész életén át kísérte.
1947–1948-ban a Beneš miniszterelnök nevével fémjelzett, a felvidéki magyarságot bűnös kisebbségként megbélyegző törvények értelmében Csilizradványról huszonnégy magyar családot telepítettek át Magyarországra, illetve hurcoltak kényszermunkára. Kóczán Mór családja az anyaország déli felébe került, s ő 1948 őszétől az 1950-es évek közepéig a jugoszláv határhoz közeli Szeremlén folytatta lelkészi működését. Nyugdíjas éveit a Budapesthez közeli Gödön töltötte, ahol edzőként és versenybíróként aktívan részt vett a település sportéletében. Hosszú, megpróbáltatásoktól sem mentes földi élete 1972. július 30-án ért véget.